Question

有以下4個(gè)結(jié)論：①若sinα+cosα=1，那么sinⁿα+cosⁿα=1； ②x=

1

8

π是函數(shù)y=sin (2x+

5

4

π)的一條對(duì)稱軸； ③y=cosx，x∈R在第四象限是增函數(shù)； ④函數(shù)y=sin (

3

2

π+x)是偶函數(shù)；  其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：分別對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷，對(duì)于①sinα+cosα=1結(jié)合性質(zhì)|sinα|≤1，|cosα|≤1易得結(jié)論；②可以把x=

1

8

π代入函數(shù)驗(yàn)證解得；解③的方法就是取特值，舉反例求解； ④函數(shù)y=sin (

3

2

π+x)可以化簡(jiǎn)為函數(shù)y═-cosx，可作出判斷．

解答：解：對(duì)于①由sinα+cosα=1知，

sinα=1 cosα=0

或

cosα=1 sinα=0

，從而有sinⁿα+cosⁿα=1；故①的結(jié)論正確；
 ②驗(yàn)證當(dāng)x=

1

8

π時(shí)，函數(shù)y=sin (2x+

5

4

π)=sin (2×

π

8

+

5

4

π)=sin

3π

2

=- 1，所以x=

1

8

π是函數(shù)y=sin (2x+

5

4

π)的一條對(duì)稱軸，②的結(jié)論正確；
 ③舉反例如：設(shè)x₁=-

π

4

，x₂=

7π

4

均是第四象限的角，且x₁＜x₂，但是cosx₁=cosx₂=

2

2

所以y=cosx，x∈R在第四象限是增函數(shù)，此結(jié)論錯(cuò)誤；
 ④函數(shù)y=sin (

3

2

π+x)=-cosx，顯然這是一個(gè)偶函數(shù)，結(jié)論正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的概念，真假命題的判斷，綜合考查了三角函數(shù)的內(nèi)容；分命題涉及三角函數(shù)求值，正余弦函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性等內(nèi)容．這類命題與多種相關(guān)知識(shí)的綜合考查是近年來(lái)高考的命題趨向，對(duì)相關(guān)知識(shí)的基本概念的把握要求較高．