Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，．
（1）求a₂，a₃．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（3）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）把n=1代入已知中，由a₁的值即可求出a₂的值，然后由a₁和a₂的值，把n=2代入中即可求出a₃的值；
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推式把a_n+1=S_n+1-S_n代入中，確定出數(shù)列S_n是等比數(shù)列，由首項和公比寫出數(shù)列S_n的通項公式，當(dāng)n=1時，根據(jù)S₁=a₁得到a₁的值，當(dāng)n≥2時，再根據(jù)即可得到a_n的通項公式，寫出數(shù)列{a_n}的通項的分段函數(shù)即可；
（3）根據(jù)（1）中求出的a_n的通項公式列舉出數(shù)列{na_n}的前n項和T_n的各項，當(dāng)n=1時求出T₁的值，當(dāng)n≥2時，求出Tn，記作①，兩邊乘以3得到一個等式，記作②，①-②，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式化簡即可求出T_n的通項公式，把求出的T₁代入也滿足，進而求出數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）令n=1，得到S₁=a₁=a₂，由a₁=1，得到a₂=2，
令n=2，得到S₂=a₁+a₂=a₃，
則a₃=2（1+2）=6；（3分）
（2）∵a_n+1=2S_n，∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴．
又∵S₁=a₁=1，
∴數(shù)列S_n是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，S_n=3^n-1（n∈N^*）．（5分）
當(dāng)n≥2時，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴；（8分）
（3）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
當(dāng)n=1時，T₁=1；
當(dāng)n≥2時，T_n=1+4•3+6•3¹+…+2n•3^n-2①，
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1②，
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=
=-1+（1-2n）•3^n-1．
∴．
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，
∴．（14分）
點評：本題主要考查數(shù)列求和的錯位相減法、等比數(shù)列的前n項和公式以及確定等比數(shù)列的方法．考查學(xué)生的運算能力．學(xué)生做此類題時注意靈活利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2且n為正整數(shù)）．