Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2}$（a∈R）是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求證：函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）x∈（0，$\sqrt{2}$]，f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2}{（{x}^{2}+2）^{2}}$＞0，即可證明函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增．

解答 （Ⅰ）解：由題意，f（0）=$\frac{a}{2}$=0，∴a=0；
（Ⅱ）證明：f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$，
∴x∈（0，$\sqrt{2}$]，f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2}{（{x}^{2}+2）^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．