Question

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是線段A₁C₁的中點(diǎn)，AC∩BD=F．
（Ⅰ） 求證：CE⊥BD；
（Ⅱ） 求證：CE∥平面A₁BD；
（Ⅲ） 求三棱錐D-A₁BC的體積．

Answer 1

證明：（Ⅰ）根據(jù)正方體的性質(zhì)BD⊥AC，
因?yàn)锳A₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA₁，又AC∩AA₁=A
所以BD⊥平面ACC₁A₁，CE?平面ACC₁A₁，所以CE⊥BD；
（Ⅱ）連接A₁F，
因?yàn)锳A₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁，
所以ACC₁A₁為平行四邊形，因此A₁C₁∥AC，A₁C₁=AC
由于E是線段A₁C₁的中點(diǎn)，所以CE∥FA₁，因?yàn)镕A₁?面A₁BD，CE?平面A₁BD，
所以CE∥平面A₁BD
（Ⅲ）VD-A1BC=VA1-BCD=

1

3

•S△BCD•A1A=

a3

6