14.已知函數(shù)f(x)=kex-$\frac{1}{2}$x2(k∈R).
(1)若x軸是曲線y=f(x)的一條切線,求實(shí)數(shù)k的值;
(2)設(shè)k<0,求函數(shù)g(x)=f′(x)+e2x+x在區(qū)間(-∞,ln 2]上的最小值.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)切點(diǎn)為(m,0),求得切線的斜率,解方程可得k的值;
(2)求得g(x)=kex+e2x,令t=ex(0<t≤2),即有y=g(x)=t2+kt,對(duì)稱軸為t=-$\frac{k}{2}$>0,討論區(qū)間(0,2]與對(duì)稱軸的關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性可得最小值.

解答 解:(1)f(x)=kex-$\frac{1}{2}$x2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=kex-x,
設(shè)切點(diǎn)為(m,0),即有kem-m=0,kem-$\frac{1}{2}$m2=0,
解方程可得m=0,k=0,或m=2,k=$\frac{2}{{e}^{2}}$,
則k=0或$\frac{2}{{e}^{2}}$;
(2)函數(shù)g(x)=f′(x)+e2x+x=kex+e2x,
令t=ex(0<t≤2),即有y=g(x)=t2+kt,
對(duì)稱軸為t=-$\frac{k}{2}$>0,
當(dāng)0<-$\frac{k}{2}$≤2,即-4≤k<0時(shí),函數(shù)的最小值為(-$\frac{k}{2}$)2-$\frac{{k}^{2}}{2}$=-$\frac{{k}^{2}}{4}$;
當(dāng)-$\frac{k}{2}$>2,即k<-4時(shí),函數(shù)在(0,2]遞減,最小值為4+2k.
綜上可得,在-4≤k<0時(shí),g(x)的最小值為-$\frac{{k}^{2}}{4}$;
k<-4時(shí),函數(shù)g(x)的最小值為4+2k.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的方程,考查可化為二次函數(shù)的最值的求法,注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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