Question

已知函數(shù)f（x）=

2 sinx

1+cos2x-sin2x

．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）用定義判斷f（x）的奇偶性；
（3）在[-π，π]上作出f（x）的圖象；
（4）寫出f（x）的最小正周期及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對函數(shù)的解析式進行化簡，把函數(shù)的關(guān)系式化簡成最簡形式，進一步求出函數(shù)的定義域．
（2）首先判斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，進一步利用f（-x）=-f（x）得到函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論直接利用對稱性，畫出函數(shù)的圖象．
（4）利用函數(shù)的解析式直接求出函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

2 sinx

1+cos2x-sin2x

=

2 sinx

1+cos2x

=

2 sinx

2 |cosx|

=

sinx

|cosx|

（1）要使函數(shù)有意義只需滿足cosx≠0即可．
則：x≠kπ+

π

2

（k∈Z）
所以函數(shù)的定義域為：{x|x≠kπ+

π

2

}（k∈Z）
（2）由于：{x|x≠kπ+

π

2

}（k∈Z）的區(qū)間關(guān)于原點對稱，
且滿足f（-x）=

sin(-x)

|cos(-x)|

=-

sinx

|cosx|

=-f(x)
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）f（x）=

sinx

|cosx|

=±tanx
直接利用函數(shù)的對稱性（關(guān)于原點對稱）畫出圖形．
所以：函數(shù)f（x）=tanx的圖象為：


所以：函數(shù)f（x）=-tanx的圖象為：

（4）根據(jù)函數(shù)的解析式：f（x）=±tanx
所以函數(shù)的最小正周期為：T=

π

1

=π
函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為：
①當(dāng)f（x）=tanx時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)（k∈Z）
②當(dāng)f（x）=-tanx時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)（k∈Z）

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)的定義域的應(yīng)用，函數(shù)的周期的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)的對稱性確定函數(shù)的圖象．