Question

求證f（x）=x+

1

x

的（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：本題是一個(gè)證明題，可用導(dǎo)數(shù)法證明，先求出f（x）=x+

1

x

的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的值在兩個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，若符號(hào)為正，此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，若導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)．

解答：證明：f′（x）=1-

1

x2

當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，

1

x2

≥1，故1-

1

x2

≤0，故函數(shù)f（x）=x+

1

x

的（0，1]上是減函數(shù)．
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，

1

x2

≤1，故1-

1

x2

≥0，故函數(shù)f（x）=x+

1

x

的（0，1]上是增函數(shù)．
由上證，f（x）=x+

1

x

的（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，本題采取了用導(dǎo)數(shù)法來證明函數(shù)單調(diào)性，其對(duì)應(yīng)關(guān)系是若導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于0，則這個(gè)區(qū)間是這個(gè)函數(shù)的增區(qū)間，若數(shù)在某個(gè)區(qū)間上函數(shù)值恒小于等于0，則這個(gè)區(qū)間是這個(gè)函數(shù)的減區(qū)間．