Question

如圖，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁，AA₁⊥面ABC且AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D為 AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求三棱錐C₁-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）設(shè)BC₁∩B₁C=O，連OD，由已知得OD∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）由已知得△ABC是直角三角形，又D是AB中點(diǎn)，S_△BCD=3，CC₁⊥面ABC，且CC₁=AA₁=4，由此能求出三棱錐C₁-BCD的體積．

解答： （本小題滿(mǎn)分12分）
（Ⅰ）證明：設(shè)BC₁∩B₁C=O，連OD，
則O為BC₁的中點(diǎn)，又D為AB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC₁，
且OD?面B₁CD，AC₁不包含于面B₁CD，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）解：∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，又D是AB中點(diǎn)，
∴S△BCD=

1

2

×

1

2

AC×BC=

1

2

×

1

2

×3×4=3，
又AA₁⊥面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥面ABC，且CC₁=AA₁=4
∴VC1-BCD=

1

3

S△BCD•CC1=

1

3

×3×4=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．