Question

【題目】如圖，曲線Γ由曲線C1： （a＞b＞0，y≤0）和曲線C2： （a＞0，b＞0，y＞0）組成，其中點(diǎn)F1 ， F2為曲線C1所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F3 ， F4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，
（Ⅰ）若F2（2，0），F(xiàn)3（﹣6，0），求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）如圖，作直線l平行于曲線C2的漸近線，交曲線C1于點(diǎn)A、B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線C2的另一條漸近線上；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅰ）中的曲線Γ，若直線l1過點(diǎn)F4交曲線C1于點(diǎn)C、D，求△CDF1面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵F2（2，0），F(xiàn)3（﹣6，0），∴ a 則曲線Γ的方程為 和 （y＞0）
（Ⅱ）曲線C2的漸近線為y=± ，如圖，設(shè)直線l：y=
則 2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0
△=（2m）2﹣42（m2﹣a2）=8a2﹣4m2＞0﹣
又由數(shù)形結(jié)合知m≥a，
設(shè)點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0）則 ，
∴ ，
∴ ，即點(diǎn)M在直線y=﹣ 上．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，曲線C1為 ，點(diǎn)F4（6，0）．
設(shè)直線l1的方程為x=ny+6（n＞0）
由 （4n2+5）y2+48ny+64=0
△=（48n）2﹣4×64（4n2+5）＞0n2＞1
設(shè)C（x3 ， y3），D（x4 ， y4）由韋達(dá)定理：
|y3﹣y4|= ．
s△CDF1= |F1F4|×|y3﹣y4|=
令t= ，∴n2=t2+1，s△CDF1=64 ×
∵t＞0，∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)t= 即n= 時(shí)等號(hào)成立
∴n= 時(shí)，△CDF1面積的最大值
【解析】（Ⅰ）由F2（2，0），F(xiàn)3（﹣6，0），可得） a（Ⅱ）曲線C2的漸近線為± ，如圖，設(shè)點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），設(shè)直線l：y= ，與橢圓方程聯(lián)立化為2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，只要證明y0=﹣ 即可．（Ⅲ）設(shè)直線l1的方程為x=ny+6（n＞0）．與橢圓方程聯(lián)立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．