Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1=

an

2nan+1

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)a_n；
（2）求

lim

n→∞

n

k=1

2k-1

k2+k

a_k；
（3）求證：2≤

(2n-1)(1+n)n

nn

a_n＜3．

Answer 1

分析：（1）將等式兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

-

1

an

=2n，再進(jìn)行疊加可得an=

1

2n-1

；
（2）將第n項(xiàng)裂項(xiàng)求和得1-

1

n+1

，再求極限；
（3）中間的式子可化為(1+

1

n

)n=1+

C

n 1

•

1

n

+

C

n 2

•(

1

n

)2++

C

n n

(

1

n

)n≥2，對于右邊的不等式，利用放縮法可證．

解答：解：（1）

1

an+1

-

1

an

=2n，疊加得：an=

1

2n-1

（2）第n項(xiàng)=

2n-1

n2+n

•

1

2n-1

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴和=1-

1

n+1

∴極限=1．
（3）中間的式子=(1+

1

n

)n=1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2++

C

n n

(

1

n

)n≥2．
又1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2++

C

n n

(

1

n

)n
=1+1+

n(n-1)

2!n2

+

n(n-1)(n-2)

3!n3

++

n(n-1)(n-2)1

n!nn

≤1+1+

1

2!

+

1

3!

++

1

n!

＜1+1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

=3-

1

2n-1

＜3

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查裂項(xiàng)求和，二項(xiàng)式定理的運(yùn)用及利用放縮法證明不等式，綜合性強(qiáng)．