Question

【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為，已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)恰為點(diǎn)，且直線的方程；

（3）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記與的面積分別為和，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率公式將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）利用點(diǎn)差法即可求出直線PQ的方程．（3）分類討論，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及基本不等式的性質(zhì)，即可求得|S1-S2|的取值范圍．

（1）因?yàn)?/span>e＝＝＝，則3a2＝4b2，將（1，）代入橢圓方程： +＝1，解得：a＝2，b＝，所以橢圓方程為+＝1；

（2）設(shè)P（xP，yP），Q（xQ，yQ），∵線段PQ的中點(diǎn)恰為點(diǎn)N，∴xP+xQ＝2，yP+yQ＝2，

∵+＝1， +＝1，兩式相減可得（xP+xQ）（xP﹣xQ）+（yP+yQ）（yP﹣yQ）＝0，∴＝﹣，即直線PQ的斜率為﹣，∴直線PQ的方程為y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0.

（3）當(dāng)直線l無斜率時(shí)，直線方程為x＝1，此時(shí)C（1，﹣），D（1，），△ABD，△ABC面積相等，|S1﹣S2|＝0，

當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線方程為y＝k（x﹣1），

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），聯(lián)立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，

顯然△＞0，方程有根，且x1+x2＝，x1x2＝，

此時(shí)|S1﹣S2|＝2|y2|﹣|y1|＝2|y2+y1|＝，

因?yàn)?/span>k≠0，則|S1﹣S2|＝＝≤＝，（k＝±時(shí)等號成立）

所以|S1﹣S2|的最大值為，則0≤|S1﹣S2|≤，

∴|S1﹣S2|的取值范圍[0，]．