Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D分別是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）設(shè)AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

，求三棱錐D-A₁CA的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC₁ 交A₁C于點(diǎn)F，則DF為三角形ABC₁的中位線，故DF∥BC₁．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）由題意可得此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形，由D為AB的中點(diǎn)可得CD⊥平面ABB₁A₁．求得CD的值，利用勾股定理求得A₁D、DE和A₁E的值，
可得A₁D⊥DE．進(jìn)而求得S △A 1DE的值，再根據(jù)三棱錐C-A₁DE的體積為

1

3

•S △A 1DE•CD，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接AC₁ 交A₁C于點(diǎn)F，則F為AC₁的中點(diǎn)．
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，
故DF為三角形ABC₁的中位線，故DF∥BC₁．
由于DF?平面A₁CD，而BC₁不在平面A₁CD中，
故有BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）∵AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

，
故此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形．
由D為AB的中點(diǎn)可得CD⊥平面ABB₁A₁，
∴CD=

AC•BC

AB

=

2

．
∵A₁D=

A1A2+AD2

=

6

，
同理，利用勾股定理求得 DE=

3

，A₁E=3．
再由勾股定理可得A1D2+DE2=A 1E2，∴A₁D⊥DE．
∴S △A 1DE=

1

2

•A₁D•DE=

3 2

2

，
∴V C-A1DE=

1

3

•S △A 1DE•CD=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求三棱錐的體積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．