Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過定點A（1，0）．
（1）若l₁與圓相切，求l₁的方程；
（2）若l₁與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l₁與l₂：x+2y+2=0的交點為N，判斷AM•AN是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線l₁與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求得直線方程，注意分類討論；
（2）分別聯(lián)立相應方程，求得M，N的坐標，再求AM•AN．

解答：解：（1）①若直線l₁的斜率不存在，即直線x=1，符合題意．（2分）
②若直線l₁斜率存在，設直線l₁為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即

|3k-4-k|

k2+1

=2解之得 k=

3

4

．
所求直線方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx-y-k=0
由

x+2y+2=0 kx-y-k=0

得 N(

2k-2

2k+1

，-

3k

2k+1

)；
又直線CM與l₁垂直，

y=kx-k y-4=- 1 k (x-3)

得 M(

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)．

∴AM*AN=

2 |2k+1|

1+k2

1+k2

•

3 1+k2

|2k+1|

=6為定值．（10分）

點評：youy本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．