Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，下面結(jié)論正確的是

 

（把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上）
①AC∥平面DA₁C₁；
②BD₁⊥平面DA₁C₁； 
③過點B與異面直線AC和A₁D所成角均為60°；  
④四面體DA₁D₁C₁與ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球半徑之比為

3

3

；
⑤與平面DA₁C₁平行的平面與正方體的各個面都有交點，則這個截面的周長為定值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：①由于AC∥A₁C₁，利用線面平行的判定定理即可判斷出AC∥平面DA₁C₁；
②由于BD₁⊥A₁D，BD₁⊥C₁D，利用線面垂直的判定定理可得BD₁⊥平面DA₁C₁；
③由于異面直線AC和A₁D所成的角為60°，可得過點B與異面直線AC和A₁D所成的角均為60°的直線有且只有1條．
④設(shè)AA₁=a，可求得四面體DA₁D₁C₁內(nèi)切球半徑為

1

3+ 3

a，而正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球半徑為

1

2

a，即可得出所求的比．
⑤將正方體沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展開到一個平面上，如圖所示，易知截面多邊形EFGHIJ的周長為定值，等于3

2

a（a為正方體的棱長）．

解答： 解：①∵AC∥A₁C₁，AC?平面A₁C₁D，A₁C₁?平面A₁C₁D，∴AC∥平面DA₁C₁，因此①正確；
②BD₁⊥A₁D，BD₁⊥C₁D，A₁D∩C₁D=D，∴BD₁⊥平面DA₁C₁，因此②正確；
③∵異面直線AC和A₁D所成的角為60°，∴過點B與異面直線AC和A₁D所成的角均為60°的直線有且只有1條．故③錯誤．
④設(shè)AA₁=a，可求得四面體DA₁D₁C₁內(nèi)切球半徑為

1

3+ 3

a，而正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球半徑為

1

2

a，故所求的比應(yīng)為1-

3

3

．故④錯誤．
⑤將正方體沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展開到一個平面上，如圖所示，易知截面多邊形EFGHIJ的周長為定值，等于3

2

a（a為正方體的棱長），故⑤正確．
綜上可知：正確的有①、②、⑤．
故答案為：①②⑤．

點評：本題綜合考查了線面平行于垂直的判定定理和性質(zhì)定理、異面直線所成的角、內(nèi)切球的性質(zhì)、展開圖等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．