（14分）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過橢圓C的右焦點作直線交橢圓C于、兩點，交軸于點，若，，求證：.

 

【答案】

（1） （2）   見解析；

【解析】第一問中利用：設橢圓C的方程為 （＞＞）

拋物線方程化為，其焦點為， 

則橢圓C的一個頂點為，即      

由，∴

第二問中，易求出橢圓C的右焦點，

設，由題意，顯然直線的斜率存在，

設直線的方程為 ，代入方程 并整理，

得      

借助于韋達定理和向量關系得到坐標關系，消元法求解得到

（1）解：設橢圓C的方程為 （＞＞），……1分

拋物線方程化為，其焦點為，  ………………2分

則橢圓C的一個頂點為，即       ………………3分

由，∴，

所以橢圓C的標準方程為         ………………6分

（2）證明：易求出橢圓C的右焦點， ……………7分

設，由題意，顯然直線的斜率存在，

設直線的方程為 ，代入方程 并整理，

得            …………9分

∴，           ………………10分

又，，，，，而 ， ，

即，

∴，，             ……………………12分

所以  ………14分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標原點，橢圓C任意一點P到兩個焦點F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過（0，-2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且
OA
•
OB
=0（O為坐標原點），求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點P（1，
32
）在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F1M⊥l，F(xiàn)2M⊥l，求四邊形F1MNF2面積S的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上且過點P(
3
，
1
2
)，離心率是
3
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）直線l過點E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點，若|EA|=2|EB|，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•和平區(qū)一模）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為
1
2
，它的一個頂點恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若A、B是橢圓C上關x軸對稱的任意兩點，設P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點E，求證：直線BE與x軸相交于定點M；
（III）設O為坐標原點，在（II）的條件下，過點M的直線交橢圓C于S、T兩點，求
OS
•
OT
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標原點，它的一條準線為x=-
5
2
，離心率為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于M點，若
MA
=λ1
AF
， 
MB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案