Question

已知在函數f（x）=mx³-x的圖象上以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為

π

4

．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整數k，使得不等式f（x）≤k-1995對于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數k；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，得到切線的斜率等于tan

π

4

．建立等式關系，求出m的值，再將切點代入曲線方程，求出n的值；
（2）要使得不等式f（x）≤k-1995對于x∈[-1，3]恒成立，即求k≥[1995+f（x）]max，先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，即可求出k的最小值．

解答：解：（1）f'（x）=3mx²-1，依題意，得tan

π

4

=f′(1)，即1=3m-1，m=

2

3

∴f(x)=

2

3

x3-x，把N（1，n）代得，得n=f(1)=-

1

3

，
∴m=

2

3

，n=-

1

3

（2）令f′(x)=2(x+

2

2

)(x-

2

2

)=0，則x=±

2

2

，
當-1＜x＜-

2

2

時，f'（x）=2x²-1＞0，f（x）在此區(qū)間為增函數
當-

2

2

＜x＜

2

2

時，f'（x）=2x²-1＜0，f（x）在此區(qū)間為減函數
當

2

2

＜x＜1時，f'（x）=2x²-1＞0，f（x）在此區(qū)間為增函數處取得極大值
又因此，當x∈[-1，3]時，-

2

3

≤f(x)≤15，
要使得不等式f（x）≤k-1995對于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1995=2010
所以，存在最小的正整數k=2010，
使得不等式f（x）≤k-1992對于x∈[-1，3]恒成立．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．