平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M是直線l:x=3上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)F(1,0)作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)P(m,n).則m,n滿足的關(guān)系式為 .
【答案】
分析:設(shè)點(diǎn)M(3,k),則由PF⊥OM可得
=-1,化簡(jiǎn)可得 nk=3-3m ①.再由題意可得△OPM為直角三角形,故由勾股定理可得OP
2+PM
2=OM
2,化簡(jiǎn)可得 2m
2+2n
2-6m-2nk=0 ②.再把①代入②化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
解答:解:設(shè)點(diǎn)M(3,k),則由PF⊥OM可得
=-1,
化簡(jiǎn)可得 nk=3-3m ①.
再由直徑對(duì)的圓周角為直角,可得OP⊥PM,△OPM為直角三角形,故由勾股定理可得
OP
2+PM
2=OM
2,即 m
2+n
2+(m-3)
2+(n-k)
2=3
2+k
2.
化簡(jiǎn)可得 2m
2+2n
2-6m-2nk=0 ②.
再把①代入②化簡(jiǎn)可得 m
2+n
2=3,
故答案為 m
2+n
2=3.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì),直線和圓相交的性質(zhì),屬于中檔題.