Question

如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在線段上.

（Ⅰ）求異面直線與所成的角；

（Ⅱ）若二面角的大小為，求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí), 本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離,在求此類(lèi)問(wèn)題中，要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問(wèn)題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.

答案：解法一：（Ⅰ）連結(jié)。由已知，是正方形，有。

∵平面，∴是在平面內(nèi)的射影。

根據(jù)三垂線定理，得，則異面直線與所成的角為。

作，垂足為，連結(jié)，則

所以為二面角的平面角，.

于是

易得，所以，又，所以。

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.

∵即，

∴，即，∴.

故點(diǎn)到平面的距離為。

解法二：分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）由，得

設(shè)，又，則。

∵∴

則異面直線與所成的角為。

（Ⅱ）為面的法向量，設(shè)為面的法向量，則

∴.                         ①

由，得，則，即

∴                            ②

由①、②，可取

又，所以點(diǎn)到平面的距離

。