已知橢圓M的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,離心率為數(shù)學(xué)公式,且拋物線數(shù)學(xué)公式的焦點(diǎn)是橢圓M的一個(gè)焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓M相交于A、B兩點(diǎn),以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點(diǎn)P在橢圓M上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值.

解:(I)設(shè)橢圓方程為,
由已知拋物線的焦點(diǎn)為(,0),則c=,由e=,得a=2,∴b2=2,
所以橢圓M的方程為;
(II)當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+m,
則由消去y得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m2)>0,①
設(shè)A、B、P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0),
則:x0=x1+x2=-,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=,
由于點(diǎn)P在橢圓M上,所以
從而,化簡(jiǎn)得2m2=1+2k2,經(jīng)檢驗(yàn)滿足①式.
又點(diǎn)O到直線l的距離為:
d====,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立,
當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí),由對(duì)稱性知,點(diǎn)P一定在x軸上,
從而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0)或(2,0),直線l的方程為x=±1,所以點(diǎn)O到直線l的距離為1.
所以點(diǎn)O到直線l的距離最小值為
分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為,易求橢圓的焦點(diǎn),從而可得c值,由離心率可得a,由b2=a2-c2可求得b值;
(Ⅱ)分情況進(jìn)行討論:當(dāng)直線l存在斜率時(shí)設(shè)直線方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程,有△>0①,設(shè)A、B、P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0),
由四邊形OAPB為平行四邊形及韋達(dá)定理可把x0,y0表示為k,m的式子,代入橢圓方程關(guān)于k,m的方程,從而利用點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)O到直線l的距離為k的函數(shù),根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)即可求得其最小值;當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)點(diǎn)O到直線l的距離易求,綜上即可得到答案.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解,考查分類討論思想、函數(shù)思想,韋達(dá)定理、判別式解決該類題目的基礎(chǔ),要熟練掌握.
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2
y
的焦點(diǎn)是橢圓M的一個(gè)焦點(diǎn),又點(diǎn)A(1,
2
)
在橢圓M上.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)已知直線l的方向向量為(1,
2
)
,若直線l與橢圓M交于B、C兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值.

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2
)是橢圓M的一個(gè)焦點(diǎn),又點(diǎn)A(1,
2
)在橢圓M上.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)已知直線l的斜率是
2
,若直線l與橢圓M交于B、C兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值.

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2
2
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2
x
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