Question

如圖是恩施高中運(yùn)動場平面圖，運(yùn)動場總面積15000平方米，運(yùn)動場是由一個矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個半圓組成，塑膠跑道寬8米，已知塑膠跑道每平方米造價為150元，其它部分造價每平方米80元，
（Ⅰ）設(shè)半圓的半徑OA=r（米），寫出塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系式
S（r）；
（Ⅱ）由于受運(yùn)動場兩側(cè)看臺限制，r的范圍為r∈[30，45]，問當(dāng)r為何值時，運(yùn)動場造價最低（第2問π取3近似計算）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）塑膠跑道面積S是有兩個半圓環(huán)和兩側(cè)跑道構(gòu)成，可根據(jù)運(yùn)動場總面積15000平方米求出運(yùn)動場的長度，從而求出所求；
（Ⅱ）先求出運(yùn)動場造價的函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出當(dāng)r為何值時，運(yùn)動場造價最低．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系式為：

S(r)=π[r2-(r-8)2]+8×2× 15000-πr2 2r =8πr+ 120000 r -64π(8＜r＜ 15000 π )

（Ⅱ）總造價y=150S+80（15000-S）
=120000+70S
=120000+560（πr+

15000

r

-8π），
∵π取3近似計算，
∴y=120000+560（3r+

15000

r

-24），r∈[30，45]，
令t=3r+

15000

r

，則t′=3-

15000

r2

＜0，
∴t=3r+

15000

r

在區(qū)間r∈[30，45]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)r=45時，總造價最低．

點評：本題主要考查了根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識解決實際問題的能力．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．