Question

如圖，梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F(xiàn)分別在線段BC，AD上，EF∥AB．將四邊形ABEF沿EF折起，連接AD，AC.

（Ⅰ）若BE＝3，在線段AD上一點取一點P，使，求證：CP∥平面ABEF；

（Ⅱ）若平面ABEF⊥平面EFDC，且線段FA,FC,FD的長成等比數(shù)列，求二面角E－AC－F的大�。�

 

Answer 1

解：（Ⅰ）證法一：在梯形ABCD中，

AD∥BC， EF∥AB ，BE＝3，∴AF=3，

又AD＝6，BC＝4，∴EC=1，F(xiàn)D=3，    1分

在線段AF上取點Q，使，連接,  2分

∵，∴，

∵，∴，  3分

∴四邊形ECPQ為平行四邊形，∴，     4分

∵平面ABEF，平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.       5分

證法二：同證法一，EC=1，F(xiàn)D=3， 1分

延長DC交FE的延長線于點M，連接，則， 2分

∵，∴，       4分

∵平面ABEF，平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.       5分

證法三：同證法一，EC=1，F(xiàn)D=3， 1分

在線段DF上取點R，使，連接PR，CR，

∵，∴，

∵平面ABEF，平面ABEF，∴PR∥平面ABEF;       2分

∵， ∴

∵， ∴四邊形ECRF為平行四邊形，∴，

∵平面ABEF，平面ABEF，∴CR∥平面ABEF;      3分

∵，∴平面平面，    4分

∵平面PRC，∴CP∥平面ABEF.   5分

（Ⅱ）解法一：在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，∴EF⊥AF， EF⊥FD，

∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF平面EFDC=，AF平面EFDC，

∴AF⊥平面EFDC，    6分

設(shè)，

∵EF＝BA＝2，∴，

∴，    7分

∵線段AF，F(xiàn)C，F(xiàn)D的長成等比數(shù)列，∴，

，化簡得，

∴或（舍），     9分

以F為原點，F(xiàn)E，F(xiàn)D，F(xiàn)A分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，，，      10分

∴，，

設(shè)是平面ACE的一個法向量，

則，即，

取，則，∴； 11分

又，，

設(shè)是平面ACF的一個法向量，

則，即，

取，則∴；    12分

∴，

∵ 二面角E-AC-F為銳角， ∴二面角E-AC-F為.  13分

解法二：同解法一得或（舍），     9分

，

∵，∴，

設(shè)點G為FC的中點，連接，則， 10分

∵AF⊥平面EFDC，平面AFC，∴平面AFC平面EFDC，

∵平面AFC平面EFDC=，∴EG⊥平面AFC，

∵平面AFC ， ∴EG⊥AC，       11分

過G作GH⊥AC交AC于H，連接EH，

∵EGGH=G， ∴AC⊥平面EGH，

∵EH平面EGH，∴AC⊥EH，

∴是二面角E-AC-F的平面角，   12分

在中，，

在中，，∴， ，∴，

∵為銳角， ∴，即二面角E－AC－F為.   13分