Question

已知函數(shù)f（x）=

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x³-mx²+2n（m，n為常數(shù)），當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）有極值，若函數(shù)y=f（x）有且只有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)n的取值范圍是

(0，

2

3

)

．

Answer 1

分析：由函數(shù)在x=2時取得極值，得f′（2）=0，由此求出m的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的極大值和極小值，由極大值大于0，且極小值小于0求得使函數(shù)y=f（x）有且只有三個零點(diǎn)的實(shí)數(shù)n的取值范圍．

解答：解：由函數(shù)f（x）=

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3

x³-mx²+2n，得f′（x）=x²-2mx．
由x=2時，函數(shù)f（x）有極值，得f′（2）=4-4m=0，即m=1．
∴f′（x）=x²-2x=x（x-2），
當(dāng)x＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，2）上為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值，為f（0）=2n．
當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）取得極小值，為f（2）=2n-

4

3

．
若函數(shù)y=f（x）有且只有三個零點(diǎn)，
則2n-

4

3

＜0＜2n，解得0＜n＜

2

3

．
∴使函數(shù)y=f（x）有且只有三個零點(diǎn)的實(shí)數(shù)n的取值范圍是(0，

2

3

)．
故答案為：(0，

2

3

)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．