Question

給出下列四個命題
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個零點；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；
④對于任意實數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，則當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0．
其中正確的命題有

①③④

（填所有正確的序號）

Answer 1

分析：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；可由全稱命題的否定的書寫規(guī)則判斷其真假；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個零點；可由函數(shù)的圖象特征進(jìn)行判斷；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；可由基本不等式將方程轉(zhuǎn)化關(guān)于a+b不等式，再解不等式求出a+b的最小值，進(jìn)行驗證；
④對于任意實數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，則當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0，此命題的真假可由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及函數(shù)的單調(diào)性與偶函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答：解：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”是一個真命題，由于原命題是一個全稱命題，故其否定是一個特稱命題；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個零點是個假命題，由于x=0時，f（0）＜0，x趨向于負(fù)無窮大與正無窮大時函數(shù)值都是正數(shù)，故此函數(shù)至少有兩個零點；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4是個真命題，由lga+lgb=lg（a+b），得ab=a+b≤(

a+b

2

)2解得a+b≥4，故a+b的最小值為4；
④對于任意實數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，則當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0，是個真命題，由對于任意實數(shù)x，有f（-x）=f（x），知此函數(shù)是一個偶函數(shù)，x＞0時，f'（x）＞0，知函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，故在（-∞，0）上是減函數(shù)，所以有x＜0時，f'（x）＜0，
綜上證明知①③④是真命題
故答案為：①③④

點評：本題考查命題真假判斷與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握每個命題所涉及的基礎(chǔ)知識與基本技能，本題中②③兩個命題的真假判斷是個難點，其中②的判斷用到了特殊值法，③的判斷技巧性較強，解題時對此類技巧要注意掌握