Question

方程x³-3x+a+1=0在x∈[-2，+∞）上有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．

Answer 1

-3＜a＜1
分析：首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，可知函數(shù)圖象的變化情況，可知方程在x∈[-2，+∞）上有三個(gè)不同的實(shí)根，求得實(shí)數(shù)a的值．
解答：
解：f（x）=x³-3x+a+1，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當(dāng)x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，1），f'（x）＜0；
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取極大值3+a，在x=1時(shí)取極小值a-1．
根據(jù)f（x）的大致圖象的變化情況，有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，

解得a的取值范圍是-3＜a＜1．
故答案為：-3＜a＜1．
點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖象，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程的綜合題，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．屬中檔題．