Question

定義在R上的函數f（x）及其導函數f′（x）的圖象都是連續(xù)不斷的曲線，且對于實數a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′（b）＜0．現給出如下結論：
①?x∈[a，b]，f（x）=0；            ②?x∈[a，b]，f（x）＞f（b）；
③?x∈[a，b]，f（x）≥f（a）；      ④?x∈[a，b]，f（a）-f（b）＞f'（x）（a-b）．
其中結論正確的個數是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：函數及其導函數的圖象都是連續(xù)不斷的曲線，且對于實數a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′（b）＜0，說明函數在區(qū)間[a，b]內至少有一個增區(qū)間和一個減區(qū)間．
解答：解：定義在R上的函數f（x）及其導函數f′（x）的圖象都是連續(xù)不斷的曲線，且對于實數a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′（b）＜0，說明在區(qū)間（a，b）內存在x，使f^′（x）=0，
所以函數f（x）在區(qū)間（a，b）內有極大值點，同時說明函數在區(qū)間[a，b]內至少有一個增區(qū)間和一個減區(qū)間．
由上面的分析可知，函數f（x）在區(qū)間[a，b]上不一定有零點，故①不正確；
因為函數在區(qū)間（a，b）內有極大值點，與實數b在同一個減區(qū)間內的極大值點的橫坐標就是存在的一個x，所以②正確；
函數f（x）在區(qū)間[a，b]的兩個端點處的函數值無法判斷大小，若f（b）＞f（a），取x=a，則③不正確；
當f（a）＞f（b），且x是極大值點的橫坐標時結論④正確．
故選B．
點評：本題考查了利用導函數研究函數的單調性，主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．