Question

若關(guān)于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且僅有一個(gè)小于1的正數(shù)根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-1，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：令f（x）=x²+2（a+1）x+2a+1，方程的判別式△=4a²，故方程一定有根，關(guān)于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且僅有一個(gè)小于1的正數(shù)根，可得出f（0）×f（1）＜0，可解出參數(shù)的取值范圍．

解答：解：由題意令f（x）=x²+2（a+1）x+2a+1，方程的判別式△=4a²，故方程一定有根，當(dāng)△=0時(shí)，方程有一個(gè)負(fù)根不合題意，故方程必有兩根
關(guān)于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且僅有一個(gè)小于1的正數(shù)根，故f（0）×f（1）＜0
即（2a+1）（4a+4）＜0，解得-1＜a＜-

1

2

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，-

1

2

）
故答案為（-1，-

1

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，求解問題的關(guān)鍵是正確理解有且僅有一個(gè)小于1的正數(shù)根，將能將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)在（0，1）內(nèi)僅有一個(gè)0點(diǎn)．