Question

（2013•成都一模）如圖，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE∥PA，BE=

1

2

PA，F(xiàn)為PA的中點(diǎn)．
（I）求證：DF∥平面 PEC
（II）若PE=

2

，求平面PEC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行四邊形的判定及性質(zhì)、線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量所成的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：理解EF，∵BE∥PA，BE=

1

2

PA=AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∴EF

∥

.

BA，
∵矩形ABCD，∴BA

∥

.

CD．
∴EF

∥

.

CD．
∴四邊形EFDC是平行四邊形．
∴DF∥CE．
∵DF?平面PEC，EC?平面PEC．
∴DF∥平面PEC．
（Ⅱ）∵AP⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
在Rt△PEF中，PE=

2

，EF=AB=1，∴PF=1．
可得P（0，0，2），E（1，0，1），C（1，2，0），
∴

PE

=(1，0，-1)，

PC

=(1，2，-2)．
設(shè)平面PEC的法向量為

n

=(x，y，z)．
則

n • PE =0 n • PC =0

，得

x-z=0 x+2y-2z=0

，
令x=2，則z=2，y=1，∴

n

=(2，1，2)．
∵AB⊥平面PAD，∴可取

AB

=(1，0，0)作為平面PAD的法向量．
∴cos＜

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB | | n |

=

2

22+1+22

=

2

3

．
故平面PEC與平面PAD所成銳二面角的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)、線面平行的判定定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系并利用平面的法向量所成的夾角求得出二面角的余弦值是解題的關(guān)鍵．