Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；（Ⅱ）當時t無解，當即時，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值為f（），當即時，函數(shù)為增函數(shù)，得到f（x）的最小值為f（t）；
（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根據(jù)x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0時x的值，利用函數(shù)的定義域和x的值分區(qū)間討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最大值，即可求出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為
令f′（x）＞0解得
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（Ⅱ）當時，t無解
當，即時，
∴；
當，即時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt
∴；
（Ⅲ）由題意：2xlnx≤3x²+2ax-1+2即2xlnx≤3x²+2ax+1
∵x∈（0，+∞）
∴
設，則
令h′（x）=0，得（舍）
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2
∴a≥-2
故實數(shù)a的取值范圍[-2，+∞）
點評：本題要求學生會利用導函數(shù)的正負得到函數(shù)的額單調(diào)區(qū)間以及會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道中檔題．