Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的一段圖象（如圖所示）
（1）求其解析式．
（2）令g（x）=

f2(x)-2f(x)+2

f(x)-1

，當(dāng)x∈[0，

π

4

]時，求g（x）的最大值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正切函數(shù)的值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接利用函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的周期，得到ω，然后利用函數(shù)經(jīng)過的點求出φ，即可得到其解析式．
（2）化簡g（x）=

f2(x)-2f(x)+2

f(x)-1

，通過換元法，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解當(dāng)x∈[0，

π

4

]時，g（x）的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）的周期為T，
則由圖知

3

4

T=

7π

8

-

π

8

=

3π

4

，∴T=π，
∴ω=

2π

π

=2，
∴f（x）=Asin（2x+ϕ）
將點（

7π

8

，0）代入得sin（2×

7π

8

+ϕ）=0，
∴

7π

4

+φ=2kπk∈Z，
∴φ=-

7π

4

+2kπk∈Z．
∵|ϕ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
∴f（x）=Asin（2x+

π

4

）．
將點（0，

2

）代入得

2

=Asin

π

4

，∴A=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

4

），
（2）g（x）=

f2(x)-2f(x)+2

f(x)-1

=

(f(x)-1)2+1

f(x)-1

=(f(x)-1)+

1

f(x)-1

，
設(shè)m=f（x）-1=2sin（2x+

π

4

）-1，則y=m+

1

m

，
當(dāng)x∈[0，

π

4

]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，sin2x+

π

4

∈[

2

2

，1]，m∈[

2

-1，1]，
y=m+

1

m

在[

2

-1，1]為減函數(shù)，
當(dāng)m=

2

-1，即2sin（2x+

π

4

）-1=

2

-1，即x=0或x=

π

4

時，g（x）取得最大值2

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．