已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上有一點(diǎn)P（4，m）到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若拋物線C與直線y=x-4相交于不同的兩點(diǎn)A、B，求證：OA⊥OB．
分析：（Ⅰ）由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），利用P（4，m）到焦點(diǎn)的距離等于A到其準(zhǔn)線的距離，根據(jù)拋物線的定義，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），證明
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0即可．
解答：（Ⅰ）解：由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），其準(zhǔn)線方程為x=-
p
2
，
∵P（4，m）到焦點(diǎn)的距離等于A到其準(zhǔn)線的距離，
∴4+
p
2
=5，∴∴p=2，
∴拋物線C的方程為y2=4x；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
由
y2=4x
y=x-4
消去x得y2-4y-16=0，
∴y1y2=-16，∴x1x2=
y12
4
•
y22
4
=16，
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，
∴
OA
⊥
OB
，
∴OA⊥OB．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理、向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）在拋物線C上是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，滿(mǎn)足PF⊥QF，且PQ與C在點(diǎn)P處的切線垂直？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•溫州一模）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，1），且過(guò)點(diǎn)A（2，t），
（I）求t的值；
（II）若點(diǎn)P、Q是拋物線C上兩動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與AQ的斜率互為相反數(shù)，試問(wèn)直線PQ的斜率是否為定值，若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(
1
2
，0)．（1）求拋物線C的方程； （2）已知直線y=k(x+
1
2
) 與拋物線C交于A、B 兩點(diǎn)，且|FA|=2|FB|，求k 的值； （3）設(shè)點(diǎn)P 是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R、N 在y 軸上，圓（x-1）2+y2=1 內(nèi)切于△PRN，求△PRN 的面積最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F（1，0）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則
|AB||FM|
為定值，且定值是2”．判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理；
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫(xiě)出關(guān)于拋物線的一般性命題（注，不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且焦點(diǎn)F（2，0）．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過(guò)焦點(diǎn)F與拋物線C相交與M，N兩點(diǎn)，且|MN|=16，求直線l的傾斜角．

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