已知a，b∈R+，下列不等式：①a+b+
1
ab
≥2
2
，②(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4，③
a2+b2
ab
≥a+b，④
2ab
a+b
≥
ab
，其中一定恒成立的是
①②③
①②③
（填寫序號）．
分析：利用a+b≥2
ab
證明①正確；把左邊展開后再用基本不等式進行證明②正確；利用平方后作差、變形和判斷符號證明③正確；把a+b≥2
ab
取倒數(shù)后，再兩邊同乘以2ab證明出④不正確．
解答：解：由于a，b∈R+，則
①、∵a+b≥2
ab
，當且僅當a=b時取等號，∴2
ab
+
1
ab
≥2
2
成立，故①正確；
②、(a+b)(
1
a
+
1
b
)=2+
b
a
+
a
b
≥4，當且僅當
b
a
=
a
b
時取等號，故②正確；
③、∵(
a2+b2
ab
)2-(a+b)2=
1
ab
[a4+b4+2a2b2-ab（a+b）2]
=
1
ab
(a4+b4-a3b-ab3)=
1
ab
[a3(a-b) +b3(b-a)]=
1
ab
[ (a-b)2(a2+ab+b2) ]
=
1
ab
(a-b)2[(a+
b
2
)2+
3b2
4
) ]≥0，∴
a2+b2
ab
≥a+b，故③正確；
④、∵a+b≥2
ab
，當且僅當a=b時取等號，∴
2ab
a+b
≤
2ab
2
ab
=
ab
，故④不對；
故答案為：①②③．
點評：本題考查了基本不等式的應用，結(jié)合做差法以及兩邊平方后再作差，后不等式取倒數(shù)等進行證明，注意：“一正、二定、三相等”的說明．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知矩陣M=
2a
21
，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P'（-4，0）
（i）求實數(shù)a的值；
（ii）求矩陣M的特征值及其對應的特征向量．
（2）在平面直角坐標系xOy中，動圓x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0（a∈R）的圓心為P（x0，y0），求2x0-y0的取值范圍．
（3）已知a，b，c為實數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a2+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
①求證：a2+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
②求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a、b∈R，定義：（1）設a＜b，則a⊕b=a，a?b=b；（2）有括號的先計算括號．那么下式 （2003⊕2004）?（2005⊕2006）的運算結(jié)果為
2005
2005
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知a、b∈R，定義：（1）設a＜b，則a⊕b=a，a?b=b；（2）有括號的先計算括號．那么下式 （2003⊕2004）?（2005⊕2006）的運算結(jié)果為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知a、b∈R，定義：（1）設a＜b，則a⊕b=a，a?b=b；（2）有括號的先計算括號．那么下式 （2003⊕2004）?（2005⊕2006）的運算結(jié)果為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：2007年上海市徐匯區(qū)零陵中學高三3月綜合練習數(shù)學試卷（三）（解析版） 題型：解答題

已知a、b∈R，定義：（1）設a＜b，則a⊕b=a，a?b=b；（2）有括號的先計算括號．那么下式 （2003⊕2004）?（2005⊕2006）的運算結(jié)果為    ．

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