過軸上動點引拋物線的兩條切線、，、為切點．

（Ⅰ）若切線，的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值；

（Ⅱ）求證：直線恒過定點，并求出定點坐標； 

（Ⅲ）當最小時，求的值．

 

【答案】

直線的方程是，則直線過定點.

【解析】

解：（Ⅰ）設(shè)過與拋物線的相切的直線的斜率是，則該切線的方程為：

，由得

，是方程的解，

故 

（Ⅱ）設(shè)由于，故切線的方程是：，又由于點在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過定點.

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，而到直線的距離，

當且僅當即時取等號. 設(shè)

由得，則

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年湖北八校聯(lián)考文）(13分)過軸上動點引拋物線的兩條切線，，，為切點．

    (Ⅰ)若切線，的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值．

(Ⅱ) 求證：直線恒過定點，并求出定點坐標． 

(Ⅲ)當最小時，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年甘肅省高三百題集理科數(shù)學試卷（解析版）（四） 題型：解答題

過軸上動點引拋物線的兩條切線、，、為切點．

（1）若切線，的斜率分別為和，求證： 為定值，并求出定值；

（2）求證：直線恒過定點，并求出定點坐標； 

（3）當最小時，求的值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年浙江省杭州市高二上學期期末考試數(shù)學理卷 題型：解答題

本小題滿分14分）

過軸上動點引拋物線的兩條切線、，、為切點,設(shè)切線、的斜率分別為和．

  (1)求證：；

(2)求證：直線恒過定點，并求出此定點坐標； 

(3)設(shè)的面積為，當最小時，求的值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年浙江省杭州市高二上學期期末考試數(shù)學文卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

過軸上動點引拋物線的兩條切線、，、為切點，設(shè)切線，的斜率分別為和.

  (1)求證：;

(2) 試問：直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由. 

 

 

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