Question

（08年上虞市質量調測二理） 雙曲線的離心率為，A，B兩點在雙曲線上，且，線段AB的垂直平分線過點Q(4，0).

   (I)設線段AB的中點為，求的值；

   (II)是否存在直線AB，使^? 請說明理由.

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）e=,故a=b,設雙曲線方程為

線段AB的垂直平分線過點Q（4，0）,故

=

+＝0

A,B在雙曲線上，故

，得－＝0

于是＝4, ＝2.

（Ⅱ）法一：，(k²-1)x²+2ktx+t²+a²=0.

==4,  kt=-2(k²-1)

^,故＝0，

得(1＋k²)(t²＋a²)－8(k²－1)²＋t²=0

2k²t²+k²a²+a²=8(k²－1)²

k²a²+a²=0,無解。即不存在是否存在直線AB，使^。

法二：雙曲線的漸近線方程為y=±x，若A,B在雙曲線的同一支上，則∠AOB<90º;

若A,B在雙曲線的不同一支上，則∠AOB>90º.不存在是否存在直線AB，使^。