Question

（本小題滿分14分）

已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0的兩根分別為x₁，x₂。

（1）若上述方程的一個(gè)根x₁=4-i（i為虛數(shù)單位），求實(shí)數(shù)p，q的值；

（2）若方程的兩根滿足|x₁|+|x₂|=2，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）根據(jù)“實(shí)系數(shù)方程虛根共軛成對(duì)出現(xiàn)”，知x₂=4+i，                    ……2分

根據(jù)韋達(dá)定理，知p=-(x₁+x₂)=-8；q=x₁·x₂=17。                                       ……2分

（2）①當(dāng)△=p²-4q<0時(shí)，方程的兩根為虛數(shù)，且，

∴|x₁|=|x₂|=1，∴q=1�！�p=-(x₁+x₂)=-2Re(x₁)∈[-2，2]，

又根據(jù)△=p²-4q<0，∴p∈(-2，2)。                                                         ……3分

②（法一）當(dāng)△=p²-4q≥0時(shí)，方程的兩根為實(shí)數(shù)，

（2-1）當(dāng)q>0時(shí)，方程的兩根同號(hào)，∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；

（2-2）當(dāng)q=0時(shí)，方程的一根為0，∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；

（2-2）當(dāng)q<0時(shí)，方程的兩根異號(hào)，∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2，

∴4=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=p²-4q，∴p²=4+4q∈[0，4)，∴p∈(-2，2)

∴當(dāng)△≥0時(shí)，p∈[-2，2]。                                                       ……3分

綜上，p的取值范圍是[-2，2]。

（法二）當(dāng)△=p²-4q≥0時(shí)，方程的兩根為實(shí)數(shù)，

∴|p|=|x₁+x₂|≤|x₁|+|x₂|=2，當(dāng)x₁與x₂同號(hào)或有一個(gè)為0時(shí)等號(hào)取到。特別的，取x₁=2，x₂=0時(shí)p=-2；取x₁=-2，x₂=0時(shí)p=2。

∴p∈[-2，2]。                                                                                         ……3分

綜上，p的取值范圍是[-2，2]

 

【解析】略