Question

已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）證明：直線l過定點(diǎn)；
（2）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，直線l過定點(diǎn)（-2，1）．
（2）要使直線l不經(jīng)過第四象限，則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負(fù)數(shù)，解出k的取值范圍．
（3）先求出直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值．

解答：解：（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，
故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)（-2，1）．
（2）直線l的方程可化為y=kx+2k+1，則直線l在y軸上的截距為2k+1，
要使直線l不經(jīng)過第四象限，則

k≥0 1+2k≥0

，
解得k的取值范圍是k≥0．

（3）依題意，直線l在x軸上的截距為-

1+2k

k

，在y軸上的截距為1+2k，
∴A（-

1+2k

k

，0），B（0，1+2k），
又-

1+2k

k

＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=

1

2

|OA||OB|=

1

2

×

1+2k

k

（1+2k）
=

1

2

（4k+

1

k

+4）≥

1

2

（4+4）=4，
當(dāng)且僅當(dāng)4k=

1

k

，即k=

1

2

時(shí)，取等號，
故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x-2y+4=0．

點(diǎn)評：本題考查直線過定點(diǎn)問題，直線在坐標(biāo)系中的位置，以及基本不等式的應(yīng)用（注意檢驗(yàn)等號成立的條件）．