Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，把函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最值；
（3）設(shè)a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+3x|x-a|=． …..4分
（2）結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象（圖1）可得，f（1）=4，f（2）=4，f（3）=18，f（）=，
所以函數(shù)在區(qū)間[1，3]上最大值為18，最小值為4．…..8分
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的圖象如圖2所示，要使得在開區(qū)間（m，n）有最大值又有最小值，則最小值一定在x=a處取得，最大值在x=a處取得；
又f（a）=a²，在區(qū)間（-∞，a）內(nèi)，函數(shù)值為a²時(shí)，x=，所以≤m＜．
f（）=，而在區(qū)間（a，+∞）內(nèi)函數(shù)值為時(shí)，
x=，所以，a＜n≤．…..12分
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的圖象如圖3所示，要使得在開區(qū)間（m，n）有最大值又有最小值，則最大值一定在x=a處取得，最小值在x=處取得，
f（a）=a²，在（a，+∞）內(nèi)函數(shù)值為 a² 時(shí)，x=-，所以，＜n≤-，f（）=-，在區(qū)間（-∞，a）內(nèi)，函數(shù)值為- 時(shí)，
x=a，所以 a≤m＜a．…..15分
綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，≤m＜，a＜n≤．
當(dāng)a＜0時(shí)， a≤m＜a，＜n≤-．…..16分．

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+3x|x-a|=．
（2）結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象（圖1）可得函數(shù)在區(qū)間[1，3]上最大值為f（3）=18，最小值為f（2）=4．
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的圖象如圖2所示，最小值一定在x=a處取得，最大值在x=a處取得，由此求出m、n的取值范圍．當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的圖象如圖3所示，最大值一定在x=a處取得，最小值在x=處取得，由此求出m、n的取值范圍，綜合可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．