Question

已知f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）寫出函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得

3+x＞0 3-x＞0

解不等式可得函數(shù)的定義域
f（x）=log₃（3+x）（3-x），令t=（3+x）（3-x）=-x²+9∈（0，9]，從而可得函數(shù)的值域
（2）結(jié)合（1）的定義域，計(jì)算可得f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x），從而可得函數(shù)為偶函數(shù)
（3）t=-x²+9在（-3，0]上單調(diào)遞增，[0，3）上單調(diào)遞減，函數(shù)y=log₃t在（0，+∞）單調(diào)遞增
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（-3，0]，單調(diào)減區(qū)間[0，3）

解答：解：（1）根據(jù)題意可得

3+x＞0 3-x＞0

，解不等式可得-3＜x＜3
∴定義域?yàn)椋?3，3）
f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（-x²+9）
令t═-x²+9，則t∈（0，9]，f（x）∈（-∞，2]
∴值域?yàn)椋?∞，2]．
（2）∵定義域?yàn)椋?3，3）關(guān)于原點(diǎn)對稱
∵f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x），
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（3）∵t=9-x²在（-3，0]上單調(diào)遞增．在（0，3]上單調(diào)遞減
∵函數(shù)y=log₃t在（0，+∞）單調(diào)遞增
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（-3，0]，單調(diào)減區(qū)間[0，3）

點(diǎn)評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域的求解，復(fù)合函數(shù)的值域的求解，函數(shù)奇偶性的判斷，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，綜合運(yùn)用了函數(shù)的性質(zhì)．