Question

已知B為拋物線y²=2px（p＞0）上的動(dòng)點(diǎn)（除頂點(diǎn)），過(guò)B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足計(jì)
為C．連接CO并延長(zhǎng)交拋物線于A，（O為原點(diǎn)）
（1）求證AB過(guò)定點(diǎn)Q．
（2）若M（1，

P

），試確定B點(diǎn)的位置，使|BM|+|BQ|取得最小值，并求此最小值．

Answer 1

（1）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（

yB2

2p

，y_B），則C為（-

p

2

，y_B）
那么直線CO的方程為y=-

yB

p

x，
與拋物線聯(lián)立，求解，得A點(diǎn)坐標(biāo)為（

p3

2yB2

，-p2 ×yB ），
故直線AB的方程為 2py_Bx-（y_B²-p²）y-p²•y_B=0，
令x=

p

2

，則y=0，
故直線AB過(guò)定點(diǎn)Q（

p

2

，0）．
（2）由（1）得，Q為拋物線焦點(diǎn)，
故|BQ|=|BC|，
根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，從而當(dāng)y_B=p

1

2

時(shí)，即B（

1

2

，

p

）時(shí)，
|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，
最小值為

p

2

+1．