Question

有甲乙2名老師和4名學(xué)生站成一排照相．
（1）甲乙兩名老師必須站在兩端，共有多少種不同的排法？
（2）甲乙兩名老師必須相鄰，共有多少種不同的排法？
（3）甲乙兩名老師不能相鄰，共有多少種不同的排法？
（4）甲乙兩名老師之間必須站兩名同學(xué)，共有多少種不同的排法？（必須寫出解析式再算出結(jié)果才能給分）

Answer 1

解：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學(xué)生在中間排列，共有A₄⁴A₂²=48種結(jié)果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個(gè)元素，
同4名學(xué)生進(jìn)行排列，注意教師之間還有一個(gè)排列，共有A₅⁵A₂²=240種結(jié)果
（3）由題意知兩名教師不能相鄰，可以先排列學(xué)生，有A₄⁴=24種結(jié)果，
再在學(xué)生形成的5個(gè)空中排列兩名教師，有A₅²=20種結(jié)果，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有24×20=480種結(jié)果
即兩名女生不能相鄰的排列方法有480種結(jié)果
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學(xué)，則從4名學(xué)生中選兩個(gè)排列在教師之間，兩名教師和2個(gè)學(xué)生組成一個(gè)元素同另外2個(gè)元素進(jìn)行排列，共有A₄²A₂²A₃³=144種結(jié)果．
分析：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學(xué)生在中間排列，共有A₄⁴A₂²種結(jié)果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個(gè)元素，同4名學(xué)生進(jìn)行排列，注意教師之間還有一個(gè)排列
（3）兩名教師不能相鄰，可以先排列學(xué)生，有A₄⁴種結(jié)果，再在學(xué)生形成的5個(gè)空中排列兩名教師，有A₅²種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有24×20種結(jié)果．
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學(xué)，則從4名學(xué)生中選兩個(gè)排列在教師之間，兩名教師和2個(gè)學(xué)生組成一個(gè)元素同另外2個(gè)元素進(jìn)行排列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是不相鄰問題采用插空法，相鄰問題采用捆綁法，本題包括的情況比較多，是一個(gè)綜合題目．