Question

12．已知函數(shù)$f（x）=sin（\frac{7π}{6}-2x）+2{cos^2}x-1$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點$（A，\frac{1}{2}）$，b、a、c成等差數(shù)列，且△ABC的面積為$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用和差角公式和二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，進而根據(jù)x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$，求出相位角的范圍，結合正弦函數(shù)的圖象和性質，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由題意易得A=$\frac{π}{3}$，ac=18，由余弦定理可得a²=（b+c）²-2bc-$\sqrt{3}$bc，解關于a的方程可得答案．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=sin（\frac{7π}{6}-2x）+2{cos^2}x-1$
=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+cos2x=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
當x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
當2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取最小值-1，
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（Ⅱ）令sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，則A=kπ，或A=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵A為三角形內(nèi)角，故A=$\frac{π}{3}$，
∵b、a、c成等差數(shù)列，
∴2a=b+c，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，
解得bc=18，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bcsinA，
∴a²=（b+c）²-2bc-$\sqrt{3}$bc，
∴a²=（2a）²-18（2+$\sqrt{3}$），
解得a=3+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查等差數(shù)列，涉及三角形的面積公式和余弦定理，屬中檔題．