Question

如圖，已知橢圓E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A，A'，圓E₂：x²+y²=a²，過橢圓的左頂點(diǎn)A作斜率為k₁直線l₁與橢圓E₁和圓E₂分別相交于B、C．
（1）證明：k_BA•k_BA′=-

b2

a2

；
（2）若k₁=1時(shí)，B恰好為線段AC的中點(diǎn)，且a=3，試求橢圓的方程；
（3）設(shè)D為圓E₂上不同于A的一點(diǎn)，直線AD的斜率為k₂，當(dāng)

k2

k1

=

a2

b2

時(shí)，試問直線BD是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足橢圓方程，表示出k_BA、kBA′，求出乘積即可；
（2）當(dāng)k₁=1時(shí)，點(diǎn)C在y軸上，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入橢圓的方程得到a，b的關(guān)系，求出橢圓的方程；
（3）直線BD過定點(diǎn)（a，0），設(shè)P點(diǎn)（a，0），B，證明k_AD•k_PB=-1，得PD⊥AD，即三點(diǎn)P，B，D共線，得出BD過定點(diǎn)P（a，0）．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)B（x₀，y₀），則

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∴y02=（1-

x02

a2

）b²=

(a2-x02)b2

a2

；
∴k_BA=

y0

x0-(-a)

，kBA′=

y0

x0-a

，
∴k_BA•kBA′=

y02

x02-a2

=

(a2-x02)b2

a2(x02-a2)

=-

b2

a2

；
（2）當(dāng)k₁=1時(shí)，點(diǎn)C在y軸上，且C（0，a），
∴點(diǎn)B（-

a

2

，

a

2

）；
又∵點(diǎn)B在橢圓上，
∴

(- a 2 )2

a2

+

( a 2 )2

b2

=1，
化簡(jiǎn)得a²=3b²，
又∵a=3，∴b²=3；
∴橢圓的方程為

x2

9

+

y2

3

=1；
（3）直線BD過定點(diǎn)（a，0），
證明如下：
設(shè)P（a，0），B（x₀，y₀），
則

x02

a2

+

y02

b2

=1（a＞b＞0）；
∴k_AD•k_PB=

a2

b2

•k₁•k_PB
=

a2

b2

•

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

a2

b2

•

y02

x02-a2

=

a2

b2

•（-

b2

a2

）
=-1，
∴PB⊥AD；
又PD⊥AD，
∴三點(diǎn)P，B，D共線，即直線BD過定點(diǎn)P（a，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與圓的有關(guān)性質(zhì)、定理的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓、直線與橢圓的應(yīng)用問題，考查了分析問題和解決問題的能力以及推理能力運(yùn)算能力，是綜合題．