Question

如圖，PA⊥矩形ABCD所在平面，PA＝AD＝a，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，(1)求證：平面MND⊥平面PCD；(2)若二面角N－MD－C為，求AB的長．

Answer 1

答案：
解析：

解 　　(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵ABCD是矩形，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD．取CD的中點(diǎn)E，連NE，ME．∵NE是 △PCD的中位線，∴NE∥PD，又∵M(jìn)E是矩形對邊中點(diǎn)的連線，∴ME∥AD，因此，平面MNE∥平面PAD，∴CD⊥平面MNE，于是MN⊥CD．連PM，MC，易知Rt△PAM≌Rt△CBM，∴PM＝MC，又∵PN＝NC，∴MN⊥PC，故MN⊥平面PCD，MN平面MND，因此平面MND⊥平面PCD． 　　(2)連AC交ME于O，則O是AC的中點(diǎn)，∵PN＝NC，∴NO∥PA，∴NO⊥平面ABCD，作OF⊥MD于F，連NF，則NF⊥MD，∴∠NFO是二面角N－DM－C的平面角，∠NFO＝．∵