如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E是側(cè)棱AA1的中點.
(Ⅰ)證明:BC1⊥EC;
(Ⅱ)求二面角A-EC-B的大小.
分析:法一:
(Ⅰ)設(shè)O是AC的中點,連接OB、OC1.在正三棱柱中,OB⊥AC,OB⊥平面ACC1A1,OC1是BC1在面ACC1A1上的射影.△AEC≌△COC1,由此能夠證明BC1⊥EC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BO⊥平面AEC,作OF⊥EC,垂足為F,連接BF,則∠OFB為二面角A-EC-B的平面角.由此能求出二面角A-EC-B的大小.
法二:
(Ⅰ)在正三棱柱中,以AC的中點O為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,利用向量法能夠證明BC1⊥EC.
(Ⅱ)求出平面AEC的一個法向量為
n1
=
1,0,0
.求出平面ECD的法向量
n2
=
1,
3
,2
3
.利用向量法能墳出二面角A-EC-B的大。
解答:解法一:
(Ⅰ)證明:設(shè)O是AC的中點,連接OB、OC1
在正三棱柱中,OB⊥AC,OB⊥平面ACC1A1
∴OC1是BC1在面ACC1A1上的射影.
∴△AEC≌△COC1,∠AEC=∠COC1
又∠AEC+∠ACE=90°,
∴∠COC1+∠ACE=90°,OC1⊥EC,
∴BC1⊥EC.…(6分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知BO⊥平面AEC,
作OF⊥EC,垂足為F,連接BF,
則∠OFB為二面角A-EC-B的平面角.
不妨設(shè)AB=2,則BO=
3
,OF=
1
5
,
在Rt△BOF中,tan∠OFB=
OB
OF
=
15
,
∠OFB=arctan
15
.…(12分)
解法二:
(Ⅰ)證明:在正三棱柱中,以AC的中點O為原點,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖.
設(shè)AB=2,則
B
3
,0,0
,C
0,1,0
,C1
0,1,2
,E
0,-1,1
,
BC1
=
-
3
,1,2
,
EC
=
0,2,-1
,
BC1
EC
=0+2-2=0

∴BC1⊥EC.…(6分)
(Ⅱ)解:在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,
平面AEC的一個法向量為
n1
=
1,0,0

設(shè)平面ECD的法向量為
n2
=
x,y,z
,
易知
BC
=
-
3
,1,0)
EC
=
0,2,-1

n2
BC
n2
EC
,得
-
3
x+y=0
2y-z=0
,
取x=1,得
n2
=
1,
3
,2
3

cos?
n1
,
n2
>=
n1
n2
|
n1
||
n2
|
=
1
1×4
=
1
4
,
∴二面角A-EC-B的大小為arccos
1
4
.…(12分)
點評:本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的求法,解題時要認(rèn)真審題,合理地化空間問題為平面問題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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