Question

已知函數(shù)f（x）=x²•e^ax（a為小于0的常數(shù)）．
（Ⅰ）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）存在x∈[1，2]使不等式f（x）≥

4

e4

成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）利用導數(shù)的運算法則可得f′（x），分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）f'（x）=e^ax（ax²+2x），令f'（x）=0，得x=0或x=-

2

a

．對a分類討論：-

2

a

≥2時，即-1≤a＜0時；當1＜-

2

a

＜2時，即-2＜a＜-1時；當-

2

a

≤1時，即a≤-2時．分別研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：f'（x）=e^ax（ax²+2x）
（Ⅰ） 當a=-1時，f'（x）=e^-x（-x²+2x）=-e^-x•x（x-2），
令f'（x）=0，得x=0或x=2．
由f′（x）＞0，解得0＜x＜2；由f′（x）＜0，解得2＜x或x＜0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），遞減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．
（Ⅱ） f'（x）=e^ax（ax²+2x），令f'（x）=0，得x=0或x=-

2

a

（1）當-

2

a

≥2時，即-1≤a＜0時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
則f(x)max=f(2)=4e2a≥

4

e4

，解得a≥-2，
∴-1≤a＜0滿足題意．
（2）當1＜-

2

a

＜2時，即-2＜a＜-1時，f（x）在[1，-

2

a

]上單調(diào)遞增，[-

2

a

，2]上單調(diào)遞減，
故f(x)max=f(-

2

a

)=e-2•

4

a2

≥

4

e4

，解得-e≤a≤e，
∴當-2＜a＜-1時滿足題意．
（3）當-

2

a

≤1時，即a≤-2時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
故f(x)max=f(1)=ea≥

4

e4

，解得a≥ln4-4，∴l(xiāng)n4-4≤a≤-2時滿足題意
綜上所述，a∈[ln4-4，0）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．