Question

橢圓的離心率為，長軸端點與短軸端點間的距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點D（0，4）的直線l與橢圓C交于兩點E，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點，若△OEF為直角三角形，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，a²+b²=5，由此能夠求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）根據(jù)題意，過點D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)l：y=kx+4，聯(lián)立，，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解．
解答：解：（Ⅰ）由已知，a²+b²=5，
又a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
所以橢圓C的方程為；
（Ⅱ）根據(jù)題意，過點D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)l：y=kx+4，
聯(lián)立，，消去y得（1+4k²）x²+32kx+60=0，
△=（32k）²-240（1+4k²）=64k²-240，
令△＞0，解得．
設(shè)E，F(xiàn)兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）當(dāng)∠EOF為直角時，
則，
因為∠EOF為直角，所以，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=0，
所以，解得．
（ⅱ）當(dāng)∠OEF或∠OFE為直角時，不妨設(shè)∠OEF為直角，
此時，k_OE•k=-1，所以，即x₁²=4y₁-y₁²①，
又；②，
將①代入②，消去x₁得3y₁²+4y₁-4=0，
解得或y₁=-2（舍去），
將代入①，得，
所以，
經(jīng)檢驗，所求k值均符合題意，綜上，k的值為和．
點評：本題是橢圓問題的綜合題，解題時要認真審題，仔細解答．