已知正數(shù)數(shù)列滿足2 ＝an＋1(n為正整數(shù))

(1)求a1，a2，a3；

(2)猜想an并證明你的結(jié)論．

 

答案：
解析：

解：n＝1時(shí)，2＝a1＋1，即2＝a1＋1，∴a1＝1

n＝2時(shí)，2＝a2＋1，

即2＝a2＋14(1＋a2)＝(a2＋1)2a2＝3

n＝3時(shí)，2＝a3＋1，即2＝a3＋1a3＝5

猜想an＝2n－1

證明：(1)n＝1時(shí)，a1＝2×1－1＝1成立

(2)假設(shè)n＝k時(shí)，ak＝2k－1，此時(shí)2＝ak＋1Sk＝

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由2＝ak＋1＋14Sk＋1＝(ak＋1＋1)2

即4(Sk＋ak＋1)＝(ak＋1＋1)2

(ak＋1)2＋4ak＋1＝ak＋12＋2ak＋1＋1

ak＋12－2ak＋1＋1＝(2k)2

∴ak＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1

∴n＝k＋1時(shí)成立．

綜合(1)(2)對(duì)一切n∈N，都有an＝2n－1．

 


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已知正數(shù)數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和．
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已知正數(shù)數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和．

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