Question

已知函數(shù)．
（I）若a=2，且，求x的值；
（II）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（III）當a=5時，函數(shù)f（x）的圖象是否存在對稱中心，若存在，求其對稱中心；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由=，得2^x=+1，解得x=log₂（+1）．
（II）由題意知，函數(shù)的定義域是R，
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x），
即 ，即，
解得a=1．
（III）當a=5時，．
假設函數(shù)f（x）的圖象是否存在對稱中心，設其坐標為（h，k），
則對任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
即，
整理得，，
解得，
當a=5時，函數(shù)f（x）的圖象存在對稱中心，其對稱中心為（0，2）．
分析：（I）把a=2代入方程，再將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解指數(shù)方程即可．
（II）根據(jù)題意求出函數(shù)的定義域是R，再由f（x）=-f（-x）列出方程，整理后利用對應項的系數(shù)相等，求出a的值．
（III）假設存在對稱中心，設其坐標為（h，k），則對任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，將函數(shù)的解析式代入其中化簡求出h，k的值，因而滿足條件的實數(shù)h，k存在，即存在對稱中心．
點評：本題的考點是利用函數(shù)奇偶性求值，即利用奇（偶）函數(shù)的定義列出方程，化簡后由對應項的系數(shù)相等求出參數(shù)的值，以及對稱性問題的處理方法，注意題目中所應用的函數(shù)的思想，屬于基礎題．