Question

在曲線y=x²（x＜0）上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的圖形面積為

1

12

，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（　　）

• A．1
• B．-1
• C．-

  1

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo)（a，a²），求導(dǎo)數(shù)得到過(guò)A點(diǎn)的直線的斜率，寫出切線方程，然后運(yùn)用微積分基本定理求解．

解答：解：如圖：設(shè)A的橫坐標(biāo)為a，因?yàn)閥^′=2x，所以過(guò)A點(diǎn)的切線的斜率為2a，切線方程為y-a²=2a（x-a），即y=2ax-a²．
所以切線與曲線以及x軸所圍成的圖形面積為S=

∫

0 a

(x2-2ax+a2)dx+

1

4

a3
=(

1

3

x3-ax2+a2x

)|

0 a

+

1

4

a3=-

1

3

a3+

1

4

a3=-

1

12

a3=

1

12

，
所以a=-1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分，考查了求在函數(shù)圖象上某一點(diǎn)出的切線方程的求法，解答此題的關(guān)鍵是想到去掉定積分中第三象限的三角形的面積，是易錯(cuò)題．