已知點(diǎn)G是△ABC的重心，
AG
=λ
AB
+μ
AC
(λ，μ∈R)，那么λ+μ=
 
；若∠A=120°，
AB
•
AC
=-2，則|
AG
|的最小值是
 
．
分析：由三角形的重心分中線為
1
2
得λ，μ的值，用向量的數(shù)量積求|
AC
||
AB
|值，用向量模的平方等于向量的平方表示出|
AG
|2
再用基本不等式求出最小值．
解答：解：∵點(diǎn)G是△ABC的重心
∴點(diǎn)G分中線為
1
2

∴
AG
=
2
3
×
1
2
（
AB
+
AC
）=
1
3
（
AB
+
AC
）
∵
AG
=λ
AB
+μ
AC
(λ，μ∈R)
∴λ=
1
3
，μ=
1
3

∴λ+μ=
2
3

故答案為
2
3

設(shè)|
AC
|=b，|
AB
|=c
∵∠A=120°，
AB
•
AC
=-2
∴bccos120°=-2即bc=4
∵
AG
=
1
3
（
AB
+
AC
）

∴|
AG
|2=
1
9
( 
AB
2+ 2
AB
•
AC
+
AC
2)=
1
9
（b2+c2-4）≥
1
9
(2bc-4)=
4
9

∴|
AG
|=
2
3
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號．
故答案為∴|
AG
|的最小值為
2
3
點(diǎn)評：考查三角形的重心性質(zhì)、向量的數(shù)量積、向量模的求法、用基本不等式求最值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x軸上有一點(diǎn)M，滿足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
(λ∈R)（若△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則該三角形的重心坐標(biāo)為G(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
)）．
（1）求點(diǎn)C的軌跡E的方程．
（2）設(shè)（1）中曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)F2的直線l交曲線E于P、Q兩點(diǎn)，求△F1PQ面積的最大值，并求出取最大值時(shí)直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)P是△GBC內(nèi)一點(diǎn)，若
AP
=λ
AB
+μ
AC
，則λ+μ的取值范圍是（　�。�
A、(
1
2
，1)
B、(
2
3
，1)
C、(1，
3
2
)
D、（1，2）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文）已知奇函數(shù)f（x）滿足f（x+3）=f（x），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）=3x-1，則f(log
1
3
36)=
 

（理）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，O是空間任意一點(diǎn)，若
OA
+
OB
+
OC
=λ
OG
，則λ的值是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列六個(gè)命題：
①sin1＜3sin
1
3
＜5sin
1
5

②若f'（x0）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x0取得極值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
④已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
1
x
+
1
y
=3；
⑤已知a=
∫
π
0
sinxdx，點(diǎn)(
3
，a)到直線
3
x-y+1=0的距離為1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a≤-1，或a≥4；
其中真命題是
①③④⑤
①③④⑤
（把你認(rèn)為真命題序號都填在橫線上）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案