解:(I)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3011.png)
∥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
,
∴2sin(A+C)(2cos
2![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4960.png)
-1)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
cos2B=0,
又∵A+C=π-B,
∴2sinBcosB+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
cos2B=0,
∴sin2B+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
cos2B=0
∴tan2B=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
又銳角△ABC中0<B<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
,0<2B<π,
∴2B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/199.png)
,∴B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
;
(II)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14121.png)
得:accosB=12,①
又由(I)知B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
,∴ac=24,②
由余弦定理得:b
2=a
2+c
2-2accosB,將b=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
及①代入得:a
2+c
2=52,
∴(a+c)
2=a
2+c
2+2ac═52+2×24=100,
∴a+c=10,③
由②③知a、c是一元二次方程t
2-10t+24=0的兩個根,
解此方程,并由c>a得:a=4,c=6.
分析:(I)根據(jù)平面向量平行時滿足的坐標特點,列出三角函數(shù)關(guān)系式,利用誘導公式及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切,得到tan2B的值,由三角形為銳角三角形得到B的范圍,進而求出2B的范圍,,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);
(II)根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則計算
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14121.png)
的左邊得到一個等式,記作①,把B的度數(shù)代入求出ac的值,記作②,然后利用余弦定理表示出b
2,把b,ac及cosB的值代入求出a
2+c
2的值,利用完全平方公式表示出(a+c)
2,把相應的值代入,開方求出a+c的值,由②③可知a與c為一個一元二次方程的兩個解,求出方程的解,根據(jù)c大于a,可得出a與c的值.
點評:此題考查了余弦定理,平面向量的數(shù)量積運算,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.同時注意完全平方公式的靈活運用.